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Analyse (mathématiques)

Analyse (mathématiques)

ja:解析学 Catégorie:Analyse Catégorie:Mathématiques L'analyse (du grec άναλύειν) est la branche des mathématiques qui traite des nombres réels, des nombres complexes et de leur fonctions. L'analyse a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal et l'étude de concepts tels que la continuité, la dérivation et l'intégration.

Histoire

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis. L'analyse moderne a été fondée au avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au , les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourrier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu. Tout au long du , la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au , Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique. Au milieu du , Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du , l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles. En outre, des « monstres » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du le calcul infinitésimal se formalise par théorie axiomatique des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.

Sous-divisions

Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants :
- Analyse réelle : l'étude rigoureuse et formelle des dérivées et des intégrales de fonctions à valeurs réelles. En incluant l'étude des limites, des séries potentielles et des mesures.
- Analyse fonctionnelle : l'étude des espaces des fonctions et l'introduction de concepts tels que les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.
- Analyse harmonique : l'étude des séries de Fourier et de leurs abstractions.
- Analyse complexe : l'étude des fonctions du plan complexe et qui sont dérivables sur l'ensemble des nombres complexes.
- Analyse non-standard : l'étude des nombres hyperréels et de leur fonctions.

Catégorie:Analyse

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Mathématiques

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries

- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre

- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités

- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives

- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)

- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
- Aire de surfaces usuelles
- Solides usuels
- Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques

- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes

- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
- :en:Clay Mathematics Institute
- Association Bourbaki
- Femmes et mathématiques
- Société Mathématique de France
- Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
- Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
- Numération romaine
- Tables
- Table d'addition
- Table de multiplication
- Table des bases
- Table des diviseurs
- Table des facteurs premiers
- Table des symboles mathématiques
- Table de constantes mathématiques
- Table de limites
- Table de dérivées
- Table de primitives
- Table d'intégrales

Liens internes

- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
- Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes

- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
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- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
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Nombres réels

Cet article traite de l'histoire des nombres réels, de leurs raisons d'être et en décrit les propriétés essentielles. La construction des nombres réels est traitée dans un autre article.

Des nombres et de leurs origines

Problématique et première solution

Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des nombres rationnels. Cette solution est finalement performante. Elle permet d'approximer toute longueur avec une précision supérieure à nos besoins. Les premiers systèmes connus sont ceux des Sumériens, ce sont en effet les premiers qui ont noté et donc laissé une trace visible de leurs pensées. Non seulement la notion de fraction était formalisée, mais cette notion était normalisée et des dénominateurs, que l'habitude avait rendu intuitifs, étaient communs à tout leur peuple. Leur habitude a perduré jusqu'à nous dans quelques domaines. La représentation du temps est une trace vivante de leur manière de représenter une grandeur mesurable. Illustrons nos propos par un exemple : comment exprimer

20.695=\frac

en sumérien ? Les Sumériens disent que la durée est d'approximativement 20 jours car ils remarquent que

\frac=20+\frac

. Ensuite ils disent que la durée est plus précisement 20 jours et une demie journée car ils remarquent que

\frac=20+\frac+\frac

. Enfin on trouve 20 jours une demie journée 4 heures 40 minutes et 48 secondes car

\frac=20+\frac+\frac+\frac+\frac

. Nous utilisons encore leur système aujourd'hui.

La formalisation d'Euclide

fraction La première formalisation construite en système que l'on connaisse est le fruit du travail d'Euclide au . Sa construction rédigée dans 13 livres appelés Éléments d'Euclide, apporte deux grandes idées d'un apport majeur dans l'histoire des mathématiques. :Les mathématiques sont formalisées avec des axiomes, des théorèmes et des preuves. On peut alors construire un système, avec des théorèmes dont les preuves s'appuient sur d'autres théorèmes. Les mathématiques sont classées en catégories, la géométrie et l'arithmétique en sont les deux plus grandes. Parler de construction prend alors tout son sens. :Un pont est bati entre les deux grandes catégories. Cette démarche, permettant d'utiliser des résultats d'une des branches des mathématiques pour éclairer une autre branche est des plus fécondes. Les nombres sont mis en correspondance avec les points d'une droite orientée, appelée droite réelle. Considérons une droite D contenant un point O que par convention nous appellerons origine. Soit un point I distinct de O appartenant à D que nous identifierons au nombre 1. Par convention nous dirons que la distance de O à I est égal à 1 et que l'orientation de la droite est celle de O vers I. À tout point M de la droite, on associe la distance entre O et M. Si M et I sont du même coté par rapport à O alors la distance est comptée positivement, sinon elle est négative. Ce nombre est appelé abscisse du point M considéré. Cette relation que notre formalisation actuelle appelle bijection permet d'identifier un nombre réel à un point d'une droite. Nous verrons que cette approche n'a pas tardé à fournir des résultats aussi troublants que fondamentaux. Droite réelle l'abscisse du point

Q

est égale à

-\frac=-3

OI

OQ

désignant les distances de

O

I

et de

O

Q

respectivement

Problèmes des nombres rationnels

Le début des problèmes

Droite réelle Le pont entre l'arithmétique et la géométrie ne tarda pas à porter ces fruits. Une incohérence apparu.
- Une longueur dont le carré est égal à 2 existe. Un raisonnement mathématique, déjà vieux à l'époque d'Euclide, montre qu'il est possible de construire un carré B de surface double de celle d'un carré initial A que l'on choisit de coté 1. Si l'on note l la longueur du coté du carré B, qui est égal à à la longueur de la diagonale du carré A, alors on vérifie l'égalité l^{2^{= 2. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de la géométrie.

- Une longueur dont le carré est égal à 2 n'existe pas sous forme de fraction. Quelques résultats sont déjà connus en arithmétique, par exemple le lemme d'Euclide. A partir de ce lemme on montre qu'aucun nombre ne peut avoir de carré égal à 2. Ici, nombre signifie fraction car il rien d'autre n'est encore imaginable. La démonstration est donnée en appendice. Voilà un raisonnement simple et imparable qui nous vient de l'arithmétique.

Nous voilà devant une situation incompréhensible. Les mathématiques sont capables de prouver à la fois qu'une proposition est vrai et fausse. Pourtant aucune erreur n'est visible. Il faudra plus de deux millénaires pour que l'humanité comprennent pourquoi les rationnels ne représentent qu'imparfaitement la droite réelle et comment bien les représenter. Cette histoire est l'histoire des nombres réels.

Il est à noter que Pythagore savait probablement que certaines racines sont irrationnelles. En revanche, la première formalisation dans un véritable corpus mathématique construit nous vient d'Euclide.

Les problèmes continuent
Pythagore

Si les fractions permettent effectivement d'exprimer toute longueur avec la précision souhaitée, il faut néanmoins comprendre que les opérations et particulièrement la division devient véritablement complexe si le système de numération n'est pas adapté. Le problème est parfaitement décrit par l'article Fraction égyptienne qui propose quelques exemples concrets.

L'école mathématique grec, tout de même mieux équipée que ses confrêres égyptiens se désintéressa de cette problématique, à quelques exceptions notoire comme Diophante d'Alexandrie. Il fallu une autre source de savoir. Elle vint de perse par le mathématicien Abou Jafar Muhammad Ibn Mūsa al-Khuwārizmī pour introduire dans la pensée européenne du moyen-age des concepts comme la numérotation indienne, le zéro et une pensée de type algèbrique et non uniquement géométrique. Il fallu encore des siècles pour découvrir des notations pratiques et un système décimal véritablement opérationnel.

Un deuxième problème apparaît. Peut-on écrire toutes les fractions de manière décimal ? La réponse est oui à condition d'accepter que les suite de décimales ne s'arrètent pas. Or une analyse des développements décimaux montre que la suite de décimales est périodique pour une fraction. Et si la suite des décimales ne l'est pas ? Par exemple, le nombre 0.1010010001... correspond il à une longueur? Notre intuition nous dit que oui, mais la raison montre que cette valeur ne peut être une fraction. Quel sens lui donner alors?

Les problèmes s'aggravent
développements décimaux

Durant la deuxième partie du , Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz inventent une toute nouvelle branche des mathématiques. On l'appelle maintenant l' analyse, à l'époque elle était connue sous le nom de calcul infinitésimal. Cette branche acquiert presque immédiatement une renommée immense car elle est la base d'une toute nouvelle théorie physique universelle : la théorie de la gravité newtonienne. Une des raisons de cette renommée est la résolution d'une vieille question, à savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse.

calcul infinitésimal
Or le calcul infinitésimal ne peut se démontrer rigoureusement dans l'ensemble des nombres rationnels. Si les calculs sont justes, ils sont exprimés dans un langage d'une extrème complexité et les preuves procèdent plus de l'intuition que d'une explicitation formelle limpide.

Pour comprendre la raison de l'impossibilité de la construction de l'analyse dans l'ensemble des fractions, il faut savoir que cette branche des mathématiques se fondent sur l'analyse des infiniments petits. Or on pourrait intuitivement comparer les nombres rationnels à une infinité de petits grains de sable (de taille infiniment petite) sur la droite réelle mais qui laisse plus de trous que de matière. Or l'analyse ne peut se contenter d'un tel support, la raison est rigoureusement donnée en appendice. Elle demande pour support un espace complet. Le mot est ici utilisé dans un double sens, le sens intuitif qui signifie que l'infinité de petits trous doit être bouchés et le sens que les mathématiciens donnent aujourd'hui plus abstrait mais rigoureusement formalisé.

Cette notion est tellement importante qu'elle deviendra à l'aube du une large branche des mathématiques appelée topologie.

Après 2200 ans : la solution
La construction
topologie

L'analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des nombres. Un siècle sera alors suffisant pour permettre de construire rigoureusement les nombres réels c'est à dire boucher les trous. Comment ont ils fait?
construire rigoureusement les nombres réels

Comme parfois en mathématiques, quand un problème arrive à maturité, ce n'est pas un mais deux penseurs qui résolvent la difficulté. C'est ce qui arriva.

La premier à avoir défini un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son approche est restée la plus fructueuse. Elle s'applique à bien d'autres cas que celui des nombres réels. Son idée est la suivante: une suite de nombres devrait converger (c'est à dire avoir une limite), si, au bout d'un certain temps, tous les éléments de la suite sont à une distance les un des autres aussi petite que l'on veut. Cette idée est formalisée dans l'article Suite de Cauchy. Considérons la suite 1 puis 1,4 puis 1.41 et ainsi de suite en alignant petit à petit toutes les décimales de $\sqrt 2$ , cette suite est vérifie le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carré de 2 et cette approche permet de constuire les nombres réels.

Le deuxième fût Richard Dedekind dans son ouvrage Was sind und was sollen die Zahlen (ce que sont et ce que doivent être les nombres). C'est la plus simple, il étudie la relation d'ordre sur les fractions. Son idée consiste à considérer les coupures, par exemple tous les nombres négatifs ou dont le carré est plus petit que 2. Cet objet est aussi un bon candidat pour représenter la racine carré de 2.

Ces deux méthodes construisent le même ensemble, les nombres réels.

La solution est plus riche que prévue
coupures
Le montrera que cette nouvelle structure, l'ensemble des nombres réels ses opérations et sa relation d'ordre, non seulement remplit intégralement ses promesses mais va largement au delà.

- Non seulement le paradoxe de la $\sqrt$ est résolu, mais un théorème puissant: le Théorème des valeurs intermédiaires permet de construire toutes les fonctions réciproques nécessaires, aussi bien de la forme des radicaux avec les fonctions de type $x \rightarrow \sqrt[n]$ , que dans le cas des fonctions trigonométriques.

- Non seulement les développements décimaux infinis ont maintenant un sens, mais en plus, il devient possible de mieux comprendre les nombres réels et de les classifier. Ainsi en dehors des fractions rationnelles on découvre le corps des nombres algébriques c'est à dire des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers. Les travaux de Carl Friedrich Gauss et de Pierre-Laurent Wantzel sous la forme du théorème de Gauss-Wantzel résolvent l'essentiel des problèmes insolubles depuis l'antiquité sur la construction à la règle et au compas, comme la trisection de l'angle ou la duplication du cube. Le plus beau d'entre eux: la quadrature du cercle demandera plus de travail. Une nouvelle famille de nombres est exhibée: les transcendants qui ne sont racines d'aucune équation polynômiale à coefficients entiers. Joseph Liouville prouve l'existence de tels nombres, en exhibe les premiers exemples et trouve les premiers outils de démonstration. La démonstration de la transcendatalité de π prouve alors l'inexistance de solution à la quadrature du cercle.

- Enfin, le Théorème de Rolle, est généralisée et permet la démonstration d'un résultat essentiel pour l'analyse. Le comportement infinitésimal d'une fonction, par exemple le fait que la dérivée soit toujours positive, permet de déduire un comportement global. Cela signifie par exemple, que si un solide se déplace sur une droite avec une vitesse toujours positive, alors le solide a avancé (c'est à dire qu'il n'a pas reculé). Ce résultat, intuitivement évident, a demandé des siècles d'efforts pour pouvoir être démontré. Mais cette propriété est si basique, que sans capacité de démonstration, il fallait bien se fonder sur les conjectures à l'époque indémontrable.

Propriétés de R

Si l'on souhaite être bref, on peut caractériser l'ensemble des nombres réels que l'on note en général $\mathbb R$ , par la phrase de David Hilbert: $\mathbb R$ est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet. Dernier signifie que tout corps commutatif archimédien est isomorphe à un sous ensemble de $\mathbb R$ . Ici isomorphe signifie intuitivement qu'il possède la même forme, ou se comporte exactement de la même manière, on peut donc sans grande difficulté, dire qu'ils sont les mêmes.

Approche axiomatique

isomorphe
Une approche axiomatique consiste à caractériser un concept par une ou une série de définitions. Ce point de vue, dont Hilbert est le précurseur dans son formalisme moderne, s'est révélé extrêmement fécond au . Des notions comme la topologie, la théorie de la mesure, ou les probabilités se définissent maintenant par une axiomatique. Une approche axiomatique suppose une compréhension parfaite de la structure en question et permet une démonstration des théorèmes uniquement à partir de ces définitions. C'est la raison pour laquelle de bonnes définitions peuvent en mathématiques s'avérer si puissantes. L'approche axiomatique de $\mathbb R$ ne montre néanmoins pas son existence. Il apparaît alors nécessaire de construire cette structure. Cette question est traitée dans l'article Construction des nombres réels.

La définition axiomatique nous est essentiellement donnée en introduction. $\mathbb R$ est l'unique corps commutatif totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure à un isomorphisme près.

- $\mathbb R$ est un corps commutatif. $\mathbb R$ est donc une structure algébrique pure autrement dit toutes ses lois sont internes. En effet l'addition (respectivement la multiplication) s'appliquent à deux nombres réels pour donner un troisième nombre réel. $\mathbb R$ est un corps, ses deux opérations, l'addition et la multiplication, possèdent donc toutes les propriétés usuelles. Un corps est commutatif si sa deuxième opération, ici la multiplication, est commutative.

- $\mathbb R$ est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:

- : $\forall a,b,c \in \mathbb \quad a>b \; \Rightarrow a+c>b+c\;$ ;

- : $\forall a,b \in \mathbb \;\forall c \in \mathbb_+^ - \quad a>b \; \Rightarrow a\times c>b\times c\;$

- L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est le plus petit des majorants.

Le dernier axiome différencie $\mathbb R$ de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais un seul satisfait l'axiome de la borne supérieure.

Calcul infinitésimal
ja:微分積分学 simple:Calculus

catégorie:mathématiques
Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeurs complémentaires:

- Le calcul différentiel est la théorie qui traite des taux de variation et fait intervenir la méthode de différentiation. En terme de fonctions mathématiques, la vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune.

- Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction et inclut des notions connexes comme le volume.

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Historique
Voir article principal Histoire du calcul infinitésimal

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours.
La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe.
Ceci a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIX siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier.
Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment.

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant son travail ne fut pas connu en Occident à cette époque suite aux manque de contacts avec l'Extrême-Orient. [http://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html]

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du « problème de la tangente ».

Calcul différentiel
Article principal: dérivée

Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique. Par exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en terme d'équations différentielles pour décrire les systèmes oscillants.

La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui permet de trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un très bref aperçu des nombreuses applications du calcul infinitésimal dans des problèmes qui à première vue ne sont pas formulés en ces termes.

Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral
Article principal: intégrale

Le calcul intégral étudie les méthodes permettant de trouver l'intégrale d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface d'un fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe ainsi que la surface et le volume de solides comme la sphère ou le cône.

Bases

Les base conceptuelles du calcul ifinitésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites infinies, séries infinies et continuité. Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire et l'induction mathématique.
La version moderne du calcul infinitésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul infinitésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle .

Théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont, dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette « découverte » par Newton et Leibnitz qui est à l'origine de l'explosion des résultats analytiques. Ce lien nous permet de retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle a partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème fondamental nous donne aussi une méthode pour calculer beaucoup d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer rééllement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction a ses dérivées. Les équations différentielles sont fondamentales en science.

Applications
Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan xoy un rectangle de côtés x et y.
Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M.
Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu de façon infinitésimale ; la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy
Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable du second ordre.

On écrit donc:
: $dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow$
: $\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac\vec i +\frac\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)$

Toutes ces égalités sont différentes façon d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:
: $dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm \overrightarrow (xy) \cdot\overrightarrow = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow$

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

À lire

- Robert A. Adams. (1999) ISBN 0-201-39607-6 Calculus: A complete course. (en)

- Spivak, Michael. (Sept 1994) ISBN 0914098896 « Calculus » Publish or Perish publishing. (en)

- Cliff Pickover. (2003) ISBN 0-471-26987-5 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. (en)

- Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998) ISBN 0312185480 Calculus Made Easy. (en)

- Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, 1986. (en)

- Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America, The Association, Stony Brook, NY. 1988. ED 300 252. (en)

Dérivation
Catégorie:Analyse réelle

Mathématiques

En mathématiques, la dérivation est le calcul permettant de définir une variation de phénomène par unité de temps ou par unité géométrique.

La dérivée d'une fonction $f(x)$ en $x_0$ s'écrit :
: $\frac(x_0)$ ou bien $f '(x_0)$
et se définit par la limite du taux de variation (lorsque cette limite existe et qu'elle est finie) :
: $f'(x_0) = \lim_ \frac$
La dérivée seconde (dérivée de la dérivée, lorsqu'elle existe) se note :
: $\frac(x_0)$ ou bien $f$ (x_0)
On notera que le nombre deux (2) en exposant se met au-dessus du d au numérateur, mais au-dessus de la variable au dénominateur ; ceci retranscrit la notion de dimension en physique.
En physique, la dérivée par rapport au temps se note parfois avec un point au-dessus, la dérivée seconde avec deux points au-dessus.

Sont dérivables en a, si f(a) existe, les fonctions trigonométriques, polynômes, rationnelles, carré, racine carrée, puissance, sauf aux bornes de l'ensemble de définition.

La dérivée première correspond à une notion de pente (géométrie) ou de vitesse (cinématique). La dérivée seconde correspond à une courbure (géométrie) ou une accélération (cinématique).

Voir aussi :

- analyse fonctionnelle

- équation différentielle

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Génétique

Transmission d'un gène modifié.

Réseau

En ce qui concerne les réseaux (au sens large : eau, gaz, électricité, réseau informatique, route), la dérivation est une division de l'itinéraire.

Électricité

Connexion au moyen d'un conducteur entre deux points d'un circuit. Se dit de circuits électriques disposés de façon que les courants se partagent entre eux.

Linguistique

En morphologie et lexicologie, domaines de la linguistique, la dérivation lexicale est un procédé permettant de construire de nouveaux mots en ajoutant des affixes à un radical.

Géographie
La Dérivation est un canal créé au dans la ville de Liège en Belgique, ayant remplacé les différents bras de la Meuse dans le quartier d'Outremeuse.

Intégrale
ja:積分

catégorie:Mesure et intégration

Intégrale d'une fonction
En mathématiques, l'intégrale d'une fonction est la valeur de l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction.
Dans le cas des fonctions positives, la notion d'aire est celle habituelle.

Pour les fonctions qui prennent des valeurs négatives (gardant un signe constant par intervalles), une définition d'aire algébrique rend possible une aire négative.

aire

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b] à valeurs réelles. Pour simplifier, supposons que cette fonction soit positive (à valeurs positives ou nulles).

L'ensemble $S=S_f=\left\$ est une région du plan comprise entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses x. La mesure de l'« aire » de S cherchée, notée $\int_a^b$ , est l'intégrale de a à b de f. Celle-ci est alors appelée l'intégrale définie de $f$ dans l'intervalle (a,b). Pour avoir plus de détails voir les pages intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue. Si une fonction est intégrable au sens de Riemann, alors elle est intégrable au sens de Lebesgue, et les deux valeurs coïncident.

Il est possible de définir une intégrale par la notion de primitive d'une fonction.
La primitivation est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f.
En admettant que toute fonction continue sur un intervalle [a, b], admet des primitives, l'intégrale de a à b est égale à F(b)-F(a) et ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie.
Cette approche est motivée en analyse, et est la méthode principale utilisée pour le calcul d'aire sous une courbe comme on l'a décrit au paragraphe précédent.

Les fonctions qui admettent des primitives sont aussi intégrables au sens de Riemann (et aussi au sens de Lebesgue).

Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral affirme que les deux approches de l'intégrale («aire sous une courbe» et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes.

La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue

Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe, est le même pour les deux approches de l'intégration, au sens de Riemann et au sens de Lebesgue.

D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont appelées fonctions étagées, et les rectangles sont remplacés par des objets plus sophistiqués.

On essaie alors d'imposer la monotonie. Si 0⩽f⩽g (ainsi S_f est un sous-ensemble de S_g) alors nous devons avoir ∫f⩽∫g. Avec l'exigence de monotonie, pour une fonction positive arbitraire f, il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire s (dans le cas de l'intégration de Riemann, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons s telle que s⩽f mais en supposant s très proche de f.
L'aire sous s est majorée par l'intégrale de f, et est appelée somme inférieure.

Dans le cas de l'intégrale de Riemann, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon: nous choisissons une fonction en escalier, disons s, telle que s⩾f en supposant s très proche de f, et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous f. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.

Enfin, par un passage à la limite pour rendre les fonctions élémentaires aussi proche de f que l'on veut, on obtient une intégrale pour certaines fonctions f.

Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables.

Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.

Symbole de l'intégrale
Le symbole de l'intégrale, ∫, est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique.

Voir aussi

- Analyse

- Dérivée

- Table de primitives

- Table d'intégrales

- Calcul intégral

- Intégrale impropre

Calcul infinitésimal
ja:微分積分学 simple:Calculus

catégorie:mathématiques
Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeurs complémentaires:

- Le calcul différentiel est la théorie qui traite des taux de variation et fait intervenir la méthode de différentiation. En terme de fonctions mathématiques, la vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune.

- Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction et inclut des notions connexes comme le volume.

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Historique
Voir article principal Histoire du calcul infinitésimal

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours.
La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe.
Ceci a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIX siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier à les publier.
Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment.

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant son travail ne fut pas connu en Occident à cette époque suite aux manque de contacts avec l'Extrême-Orient. [http://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html]

La justification première du développement du calcul différentiel était de trouver une solution du « problème de la tangente ».

Calcul différentiel
Article principal: dérivée

Le calcul différentiel consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci. Ce concept est au cœur de nombreux problèmes de physique. Par exemple, la théorie de base des circuits électriques est formulée en terme d'équations différentielles pour décrire les systèmes oscillants.

La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema (minima et maxima) en étudiant ses variations. Une autre application du calcul différentiel est la méthode de Newton, un algorithme qui permet de trouver les zéros d'une fonction en l'approchant localement par ses tangentes. Ceci n'est qu'un très bref aperçu des nombreuses applications du calcul infinitésimal dans des problèmes qui à première vue ne sont pas formulés en ces termes.

Certains attribuent à Fermat la paternité du calcul différentiel.

Calcul intégral
Article principal: intégrale

Le calcul intégral étudie les méthodes permettant de trouver l'intégrale d'une fonction. Elle peut être définie comme la limite de la somme de termes qui correspondent chacun à la surface d'un fine bandelette sous-tendue par le graphe de la fonction. Ainsi définie, l'intégration donne un moyen effectif de calculer l'aire sous une courbe ainsi que la surface et le volume de solides comme la sphère ou le cône.

Bases

Les base conceptuelles du calcul ifinitésimal incluent les notions de fonctions, limites, suites infinies, séries infinies et continuité. Ses outils incluent les techniques de manipulation symbolique associées à l'algèbre élémentaire et l'induction mathématique.
La version moderne du calcul infinitésimal est connue comme analyse réelle qui consiste en une dérivation rigoureuse des résultats du calcul infinitésimal ainsi qu'en généralisations comme la théorie de la mesure et l'analyse fonctionnelle .

Théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que la différentiation et l'intégration sont, dans un certain sens, des opérations inverses. C'est cette « découverte » par Newton et Leibnitz qui est à l'origine de l'explosion des résultats analytiques. Ce lien nous permet de retrouver la variation totale d'une fonction sur un intervalle a partir de sa variation instantanée, en intégrant cette dernière. Le théorème fondamental nous donne aussi une méthode pour calculer beaucoup d'intégrales définies de façon algébrique, sans passer rééllement à la limite, en trouvant la primitive. Il nous permet aussi de résoudre certaines équations différentielles. Une équation différentielle est une équation qui lie une fonction a ses dérivées. Les équations différentielles sont fondamentales en science.

Applications
Pour rendre concrètes ces notions, considérons dans le plan xoy un rectangle de côtés x et y.
Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M.
Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu de façon infinitésimale ; la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy
Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable du second ordre.

On écrit donc:
: $dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow$
: $\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac\vec i +\frac\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)$

Toutes ces égalités sont différentes façon d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:
: $dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm \overrightarrow (xy) \cdot\overrightarrow = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow$

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Celui-ci s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

À lire

- Robert A. Adams. (1999) ISBN 0-201-39607-6 Calculus: A complete course. (en)

- Spivak, Michael. (Sept 1994) ISBN 0914098896 « Calculus » Publish or Perish publishing. (en)

- Cliff Pickover. (2003) ISBN 0-471-26987-5 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. (en)

- Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998) ISBN 0312185480 Calculus Made Easy. (en)

- Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7, 1986. (en)

- Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America, The Association, Stony Brook, NY. 1988. ED 300 252. (en)

Gottfried Wilhelm von Leibniz
ko:고트프리트 라이프니츠 ja:ゴットフリート・ライプニッツ th:กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

Leibniz, Gottfried Wilhelm von
Leibniz, Gottfried Vilhelm von
Catégorie:Naissance en 1646
Catégorie:Décès en 1716

Catégorie:Décès en 1716
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 juillet 1646 - Hanovre, 14 novembre 1716) était un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand.

Biographie
bibliothécaire
Orphelin de mère à 6 ans, il est élevé par son père, tchèque, professeur de philosophie morale à l'Université de Leipzig. Celui-ci lui apprend à lire, mais Leibniz affirma avoir appris par lui-même le latin. En 1663, il obtient son baccalauréat en philosophie ancienne. En 1666, il devient docteur en droit à Nuremberg ; la même année, il est initié à la Rose-Croix.

En 1669, il devient conseiller à la Chancellerie de Mayence. Envoyé en 1672 à Paris en mission diplomatique, pour convaincre le roi Louis XIV de porter son esprit de conquête vers l'Égypte plutôt que l'Allemagne, il y reste jusqu'en 1676 pour y rencontrer les grands savants de l'époque (Malebranche, Arnauld, Huygens) et se consacre aux mathématiques.

En 1676, à la mort de son protecteur, le baron von Boyneburg, il retourne à Hanovre où le duc de Brunswick le nomme bibliothécaire. Il restera dans ce poste au service des ducs de Hanovre pendant près de 40 ans. Mais il s'occupe aussi de diplomatie, de mathématique et de philosophie. En 1683, il crée le Journal des Érudits (Acta Eruditorum) dans lequel il publie en 1684 son traité sur les différentielles. En 1687, il se lance dans une Histoire de la maison de Brunswick qui restera inachevée. En 1700, il crée une Académie à Berlin. Il est invité dans les grandes cours d'Europe (Pierre Le Grand en Russie, Charles VI en Autriche qui le fait Baron, Louis XIV en France). Miné par sa querelle avec Newton et par la maladie, il perd peu à peu de son influence et meurt, le 14 novembre 1716, dans l'indifférence générale.

Comme philosophe, il s'est intéressé fort tôt à la scolastique et à la syllogistique. Il a conçu le projet d'une encyclopédie ou « bibliothèque universelle » :
:« Il importe à la félicité du genre humain que soit fondée une Encyclopédie, c'est-à-dire une collection ordonnée de vérités suffisant, autant que faire se peut, à la déduction de toutes choses utiles. » Initia et specimina scientiae generalis, 1679-1680.

Comme mathématicien, il a fait entrer les mathématiques dans la nouvelle ère du calcul infinitésimal.

Philosophie
La monadologie

Rédigée en 1714 et non publiée du vivant de l'auteur, la Monadologie représente une des dernières étapes de la pensées de Leibniz. En dépit de ressemblances apparentes avec des textes antérieurs, la Monadologie se distingue fortement d'ouvrages comme le Discours de métaphysique ou le Système nouveau de la nature et de la communication des substances. La notion de substance individuelle présente dans le Discours de métaphysique ne doit pas être confondue avec celle de monade.

La force

Pour Leibniz, la physique a sa raison dans la métaphysique. Si la physique étudie les mouvements de la nature, quelle réalité est ce mouvement, quelle cause a-t-il ? Le mouvement est relatif, i.e. une chose se meut selon la perspective d’où nous la regardons. Le mouvement n’est donc pas la réalité elle-même ; la réalité est la force qui subsiste en dehors de tout mouvement et qui en est la cause : la force subsiste, le repos et mouvement étant des différences phénoménales relatives.

Leibniz définit la force comme « ce qu’il y a dans l’état présent, qui porte avec soi un changement pour l’avenir. » Cette théorie est un rejet de l’atomisme ; en effet, si l’atome est une réalité absolument rigide, il ne peut perdre de force dans les chocs. Il faut donc que ce que l’on nomme atome soit en réalité composé et élastique. L’idée d’atome absolu est contradictoire :
: « Les atomes ne sont que l’effet de la faiblesse de notre imagination, qui aime à se reposer et à se hâter à venir dans les sous divisions ou analyses. »

Ainsi la force est-elle la réalité : la force est substance, toute substance est force. La force est dans un état, et se modifie suivant des lois du changement. Cette succession d’états changeants possède un ordre régulier, i.e. chaque état a une raison (cf. principe de raison suffisante) : chaque état s’explique par celui qui précède, il y trouve sa raison. À cette notion de loi se rattache également l’idée d’individualité : l’individualité est pour Leibniz une série de changements, série qui se présente comme une formule :
: « La loi du changement fait l’individualité de chaque substance particulière. »

La monade

Toute substance se développe ainsi suivant des lois intérieures, suivant sa propre tendance : chacune a sa loi propre. Ainsi, si nous connaissons la nature de l’individu, pouvons-nous en dériver tous les états changeants. Cette loi de l’individualité implique des passages à des états non seulement nouveaux, mais plus parfaits.

Ce qui existe est donc pour Leibniz l’individuel ; il n’existe que des unités. Ni les mouvements, ni même les corps n’ont cette substantialité : la substance étendue cartésienne suppose en effet quelque chose d’étendue, elle est un composé, un agrégat qui ne possède pas par lui-même la réalité. Ainsi, sans substance absolument simple et indivisible, n’y aurait-il aucune réalité. Leibniz nomme monade cette réalité. La monade est conçue selon le modèle de notre âme :
: « l’unité substantielle demande un être accompli, indivisible et naturellement indestructible, puisque sa notion enveloppe tout ce qui lui doit arriver, ce qu’on ne saurait trouver ni dans la figure ni dans le mouvement… Mais bien dans une âme ou forme substantielle, à l’exemple de ce que l’on appelle moi. »

Nous faisons l’observation de nos états internes, et ces états (sensations, pensées, sentiments) sont en un perpétuel changement : notre âme est une monade, et c’est d’après elle que nous pouvons concevoir la réalité des choses, car il y a sans doute dans la nature d’autres monades qui nous sont analogues. Par la loi de l’analogie (loi qui se formule « tout comme ceci »), nous concevons toute existence comme n’étant qu’une différence de degré relativement à nous. Ainsi, par exemple, il y a des degrés inférieurs de conscience, des formes obscures de la vie psychique : il y a des monades à tous les degrés de clarté et d’obscurité. Il y a une continuité de toutes les existences, continuité qui trouve son fondement dans le principe de raison.

Dès lors, puisqu’il n’existe que des être doués de représentations plus ou moins claires, dont l’essence est dans cette activité représentative, la matière se trouve réduite à l’état de phénomène. La naissance et la mort sont également des phénomènes dans lesquels les monades s’obscurcissent ou s’éclaircissent. Ces phénomènes ont de la réalité dans la mesure où ils sont reliés par des lois, mais le monde, d’une manière générale, n’existe qu’en tant que représentation.

Ces monades, en se développement selon une loi interne, ne reçoivent aucune influence de l’extérieur :
: « 7. II n'y a pas moyen aussi d'expliquer comment une Monade puisse être altérée ou changée dans son intérieur par quelque autre créature, puisqu'on n'y saurait rien transposer, ni concevoir en elle aucun mouvement interne qui puisse être excité, dirigé, augmenté ou diminué là-dedans, comme cela se peut dans les composés ou il y a du changement entre les parties. Les Monades n'ont point de fenêtres par lesquelles quelque chose y puisse entrer ou sortir. » (Monadologie)

L’harmonie préétablie

Dès lors, comment expliquer que tout ce passe dans le monde comme si les monades s’influençaient réellement mutuellement ? Leibniz explique cette concordance par une harmonie universelle entre tous les êtres, et par un créateur commun de cette harmonie :
: « Aussi Dieu seul fait la liaison et la communication des substances, et c’est par lui que les phénomènes des uns se rencontrent et s’accordent avec ceux des autres, et par conséquent qu’il y a de la réalité dans nos perceptions. » (Discours de métaphysique)

Si les monades semblent tenir compte les unes des autres, c’est parce que Dieu les a créées pour qu’il en soit ainsi. C’est de Dieu que les monades sont créées d’un coup par fulguration, à l’état d’individualité qui les fait comme de petits dieux. Chacune possède un point de vue sur le monde, une vue de l’univers en miniature, et toutes ses perspectives ont ensemble une cohérence interne, tandis que Dieu possède l’infinité des points de vue qu’il crée sous la forme de ces substances individuelles. La force et la pensée intimes des monades sont donc une force et une pensée divines. Et l’harmonie est dès l’origine dans l’esprit de Dieu, i.e. elle est préétablie.

Il ressort enfin de cette idée de la monade que l’univers n’existe pas en dehors de la monade, mais qu’il est l’ensemble de toutes les perspectives. Ces perspectives naissent de Dieu. Tous les problèmes de la philosophie sont ainsi déplacés dans la théologie.

Cette transposition pose des problèmes qui ne sont pas vraiment résolus par Leibniz :

- comment une substance absolue peut-elle naître ?

- comment Dieu peut-il avoir une infinité de perspectives et en faire des substances au sein d’une harmonie préétablie ?

Malebranche résumera tout cela en une formule : Dieu ne crée pas des dieux. Ce qui signifie aussi que Spinoza était plus conséquent lorsqu’il n’admettait l’existence que d’une seule substance.

L’union de l’âme et du corps

Sa théorie de l’union de l’âme et du corps suit naturellement son idée de la monade. Le corps est un agrégat de monades, dont les rapports avec l’âme sont réglés dès le départ comme deux horloges que l’on aurait synchronisées. Leibniz décrit ainsi la représentation du corps (i.e. du multiple) par l’âme :
: « Les âmes sont des unités et les corps sont des multitudes. Mais les unités, quoiqu’elles soient indivisibles, et sans partie, ne laissent de représenter des multitudes, à peu près comme toutes les lignes de la circonférence se réunissent dans le centre. »

Théodicée

Le terme de "théodicée" signifie étymologiquement "justice de Dieu", c'est en d'autres termes un discours se proposant de prendre la défense de Dieu, face notamment à la question de sa responsabilité concernant l'existence du mal en ce monde. Il est essentiel de souligner le principal enjeu de la théodicée leibnizienne. La question est d'abord : comment accorder l'existence du mal avec l'idée de la perfection générale de l'univers ? Mais, par delà les difficultés internes à la métaphysique leibnizienne, on trouve le problème suivant : comment accorder l'idée de la responsabilité ou de la culpabilité de l'homme dans le mal avec le sentiment que cet homme agit de la seule manière dont il était possible qu'il agît. La réponse de Leibniz au conflit entre nécessité et liberté est originale.

L'exemple de Judas le traître, tel qu'il est analysé dans la section 30 du Discours de Métaphysique est éclairant : certes, il était prévisible de toute éternité que ce Judas-là dont Dieu a laissé l'essence venir à l'existence, pècherait comme il a péché, mais il n'empêche que c'est bien lui qui pèche. Le fait que cet être limité, imparfait (comme toute créature) entre dans le plan général de la création, et donc tire en un sens son existence de Dieu, ne le lave pas en lui-même de son imperfection. C'est bien lui qui est imparfait, de même que la roue dentée, dans une montre, n'est rien d'autre qu'une roue dentée : le fait que l'horloger l'utilise pour fabriquer une montre ne rend pas cet horloger responsable du fait que cette roue dentée n'est rien d'autre, rien de mieux qu'une roue dentée.

La raison suffisante, parfois nommée « la raison déterminante » ou le « grand principe du pourquoi », est le principe qui a guidé Leibniz dans ses recherches : rien n'est sans une raison qui explique pourquoi il est plutôt qu'il n'est pas, et pourquoi il est ainsi plutôt qu'autrement. Leibniz ne nie pas que le mal existe. Il affirme toutefois que tous les maux ne peuvent pas être moindres : ils trouvent leur explication et leur justification dans l'ensemble, dans l'harmonie du tableau de l'univers. « Les défauts apparents du monde entier, ces taches d'un soleil dont le nôtre n'est qu'un rayon, relèvent sa beauté bien loin de la diminuer ». (Théodicée,1710 - parution en 1747).

Répondant à Bayle, il établit la démonstration suivante: si Dieu existe, il est parfait et unique. Or, si Dieu est parfait, il est « nécessairement » tout-puissant, toute bonté et toute justice, toute sagesse. Ainsi, si Dieu existe, il a, par nécessité, pu, voulu et su créer le moins imparfait de tous les mondes imparfaits; le monde le mieux adapté aux fins suprêmes.

En 1759, dans le conte philosophique Candide, Voltaire fait de son personnage Pangloss le porte-parole du providentialisme de Leibniz. Il y déforme volontairement sa doctrine en la réduisant à la formule: « tout est au mieux dans le meilleur des mondes possibles ».

Il est à noter que cette formule ne se trouve pas dans l'œuvre leibnizienne.
Jean-Jacques Rousseau rappellera à Voltaire l'aspect contraignant de la démonstration de Leibniz : « Ces questions se rapportent toutes à l'existence de Dieu. (...) Si l'on m'accorde la première proposition, jamais on n'ébranlera les suivantes; si on la nie, il ne faut pas discuter sur ses conséquences. » (Lettre du 18 août 1756)

La critique voltairienne de Leibniz repose sur un contresens, confondant les notions de perfection et d'optimum. D'après Leibniz, tout ne va pas à merveille et tout n'est pas parfait en ce monde. Ce philosophe sait bien que l'univers n'est pas l'Eldorado ni une des « utopies » de « roman », mais l'univers réel, avec son cortège de maux et d'imperfections. L'erreur de Voltaire, réfutée à l'avance, par Leibniz est de distribuer la perfection de l'ensemble de l'univers à chacun de ses éléments. Si le plus grand ensemble est celui qui comporte le plus grand nombre d'éléments, le plus bel ensemble n'est pas toujours celui dont chaque élément, envisagé séparément, est le plus beau. Pour reprendre ses mots, « la partie du meilleur tout n'est pas nécessairement le meilleur qu'on pouvait faire de cette partie, puisque la partie d'une belle chose n'est pas toujours belle » ; souvent, en effet, « ce sont quelques désordres dans les parties qui relèvent merveilleusement la beauté du tout ». Pour mettre en valeur un diamant dans une parure, il faut justement que le fond ne soit pas lui-même en diamant. Quel mérite y aurait-il à être vertueux dans un monde où il serait impossible de faire le mal ? La vertu n'a de valeur qu'en tant qu'elle doit résister au mal moral. Quoi qu'en ait dit Voltaire, le meilleur des mondes n'est pas le monde parfait, puisque c'est en raison même de ses harmonieuses imperfections qu'il est optimal.

Nouveaux essais sur l'entendement humain

C'est la réponse de Leibniz à lEssai sur l'entendement humain de John Locke. Le philosophe anglais défend une position empiriste, selon laquelle toutes nos idées nous viennent de l'expérience. Leibniz, sous la forme d'un dialogue imaginaire entre Philalèthe, qui cite les passages du livre de Locke, et Théophile, qui lui oppose les arguments leibniziens, défend une position innéiste : certaines idées sont en notre esprit dès la naissance. Ce sont les idées qui sont constitutives de notre entendement même, comme celle de causalité. Or on peut admettre que tout ce qui est dans notre entendement vient de l'expérience, excepté l'entendement lui-même. Quant aux idées innées comme celle de causalité, c'est l'expérience qui permet de les activer certes, mais il a fallu pour cela qu'elles existent d'abord potentiellement dans notre entendement.

Les Nouveaux essais sont terminés en 1705. Mais la mort de Locke convainc Leibniz de reporter à plus tard leur publication. Ils ne paraîtront finalement qu'en 1765.

Mathématique

Les travaux mathématiques de Leibniz se dispersent dans de nombreuses publications d'articles dans la revue des érudits ainsi que dans son abondante correspondance avec Newton, Huygens, les frères Bernoulli.

Le "nouveau calcul"
L'œuvre de Leibniz s'inscrit dans un courant de pensée initié par Viète et Descartes sur le symbolisme en mathématique. Contemporain de Newton, il met en place, en même temps que lui, les bases du calcul infinitésimal. Mais alors que Newton, physicien génial, construit une mathématique au service de la physique avec sa notion de fluxion, Leibniz, d'avantage théoricien, développe un outil dont la puissance dépasse l'application directe de l'étude du mouvement. Paradoxalement, alors que les notions qu'il met en place sur les infiniment petits sont à l'origine de tout le calcul différentiel et intégral, Leibniz n'est pas capable d'en donner une justification mathématiquement correcte. Ses travaux sont repris et approfondis par les frères Bernoulli, Euler et Lagrange.

Leibniz ne se contente pas de développer une symbolique mathématique mais l'intègre dans une notion plus générale que l'on appelle la caractéristique leibnizienne ou science de la représentation symbolique qu'il voulait voir appliquer à d'autres domaines ( Characteristica Geometrica lettre à Huygens en 1679).

Il est à l'origine du terme de fonction (1692 de function : exécution), de celui de coordonnées, de la notation différentielle dx, du terme de différentielle que Newton appelle fluxion, du symbole $\int$ pour l'intégrale, de la notation du produit de a par b sous la forme a.b ou ab, d'une définition logique de l'égalité.

Calcul infinitésimal : Newton ou Leibniz ?
Dans l'histoire du calcul infinitésimal, la querelle entre Newton et Leibniz est restée célèbre. La quasi-simultanéité de la découverte du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz a donné lieu à une longue dispute sur la paternité de la notion. Newton met en place les bases de son système vers 1666 mais ne le publie qu'en 1693. Les premières traces de notation différentielle chez Leibniz apparaissent en 1675 et son mémoire est édité en 1684. Cependant, il est prouvé que Leibniz connaissait Newton à cette époque et échangeait des lettres avec lui. Il est fort probable que Leibniz a connu une version manuscrite du travail de Newton mais nul ne peut dire s'il s'en est inspiré ou s'il a développé son propre outil de manière indépendante.

Autres travaux
Leibniz s'intéresse aussi aux systèmes d'équations et pressent l'usage des déterminants. Dans son traité sur l'art combinatoire, science générale de la forme et des formules, il développe des techniques de substitution pour la résolution d'équation. Parallèlement à Newton, il travaille sur la convergence des séries, le développement en série entière des fonctions comme l'exponentielle, le logarithme, les fonctions trigonométriques (1673). Il découvre, ainsi que Newton, les frères Bernoulli et Huygens, la courbe brachistochrone. Il s'intéresse à la rectification des courbes (calcul de leur longueur). S'appuyant sur les travaux de Newton concernant les exposants fractionnaires et irrationnels, il est le premier à créer la fonction $x \mapsto a^x$ (conspectus calculi). Il étudie les enveloppes de courbes et la recherche d'extremum pour une fonction ( Nova methodus pro maximis et minimis 1684). Il conçoit une machine arithmétique inspiré de la Pascaline. Il tente aussi une incursion dans la théorie des graphes et la topologie (analysis situs).

Leibniz s'essaie avec un moindre succès à la résolution de problèmes physiques où il commet certaines erreurs.

Voir aussi

- Caractéristique de Leibniz

- Descartes

- Monadologie

- Spinoza

- Formules de Leibniz pour la dérivée nième d'un produit et le calcul du déterminant

- Fonction vectorielle et fonction scalaire de Leibniz dans les barycentres ainsi que le théorème de Leibniz dans ce même domaine

- Critère de Leibniz pour la convergence d'une série alternée

- Formule de Leibniz pour le calcul de $\pi$

Œuvres

- Nouvelle méthode pour l'étude du droit (1668)

- Théorie du mouvement concret et du mouvement abstrait (1670)

- Calcul différentiel (1684)

- Discours de métaphysique, (1686)

- Dissertation sur l'art combinatoire (1690)

- Système nouveau de la nature et de la communication des substances (1695)

- Nouveaux Essais sur L'entendement humain, (1705)

- Essais de théodicée (1710)

- Monadologie (1714)

- [http://wikisource.org/wiki/Discours_touchant_la_m%C3%A9thode_de_la_certitude_et_de_l%27art_d%27inventer_pour_finir_les_disputes_et_pour_faire_en_peu_de_temps_de_grands_progr%C3%A8s| Discours touchant la méthode de la certitude et l'art d'inventer pour finir les disputes et faire en peu de temps de grands progrès]

Bibliographie

- Yvon Belaval, Leibniz, initiation à sa philosophie, Vrin, 1969.

- Louis Couturat, La logique de Leibniz, réed. Olms, 1969.

- Martial Gueroult, Leibniz, Dynamique et métaphysique, Réed. Aubier, 1967.

- Michel Fichant, L'invention métaphysique (introduction à l'édition Folio de la monadologie), Folio, 2004

- Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Salé, Histoire de mathématiques

- Michel Serfati, La révolution symbolique

Liens externes

- Les vendredis de la philosophie, [http://www.radiofrance.fr/chaines/france-culture2/emissions/vendredis/fiche.php?diffusion_id=21562 23 avril 2004], [http://www.tv-radio.com/ondemand/france_culture_(aod)/VENDREDIPHILO/VENDREDIPHILO200404230910.ram lien audio]

- [http://gallica.bnf.fr/metacata2.idq?CiRestriction=%28@Auteur%20leibniz%29&Ciscope=&Mod=i Œuvres complètes de Leibniz]

- [http://www.univ-lyon3.fr/philo/leibniz.htm Liens sur Leibniz]

- [http://www.webdeleuze.com/php/liste_texte.php?groupe=Leibniz Cours de Gilles Deleuze sur Leibniz]

Calcul infinitésimal
ja:微分積分学 simple:Calculus

catégorie:mathématiques
Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux idées majeurs complémentaires:

- Le calcul différentiel est la théorie qui traite des taux de variation et fait intervenir la méthode de différentiation. En terme de fonctions mathématiques, la vitesse, l'accélération, et les pentes des courbes en un point donné peuvent toutes être décrites sur une base symbolique commune.

- Le calcul intégral, qui développe l'idée d'intégration, fait intervenir le concept d'aire sous-tendue par le graphe d'une fonction et inclut des notions connexes comme le volume.

Ces deux concepts définissent des opérations inverses au sens précis défini par les théorèmes fondamentaux du calcul infinitésimal. Ceci veut dire qu'ils ont une priorité équivalente. Cependant l'approche pédagogique habituelle commence par le calcul différentiel.

Historique
Voir article principal Histoire du calcul infinitésimal

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute façon elle importe peu de nos jours.
La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé}}